Funcion exponencial.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
siendo a, K \in \mathbb{R} números reales, a\geq 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Definición formal

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
o como el límite de la sucesión:
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Propiedades

La funcion exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
  • Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante ,en el caso de que tengan una base distinta a e)
  • \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)
  • \exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,
  • \exp(-x) = {1 \over \exp(x)}
  • \exp(0) = 1 \,
  • su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
{d \over dx} e^x = e^x
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
  • La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
  • La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
  • La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:
{d \over dx} a^x = a^x \cdot \ln(a)
donde la función ln denota el logaritmo natural.

Definición para números complejos

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos
z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:
e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}
para valores imaginarios puros se cumple la identidad
e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,
e^z=e^{x+yi} = e^{x}\cdot(\cos y + i\,\mbox{sen } y)
relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de 2πi.
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