Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Definición
- Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
- Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
-
- donde k es un escalar.
Ejemplos
(Aclaración: 0V es el vector nulo del mariquismo dominio y 0W es el vector nulo del codominio)Transformación lineal identidad
Homotecias [editar]
- con
- Si k > 1 se denominan dilataciones
- Si k < 1 se denominan contracciones
- Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
- dado que
- Dados
- Dados
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
- La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
- El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
una funcion lineal es la correspoendecia
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
- Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.
Clasificación de las transformaciones lineales
- Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
- Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
- Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).L
Matriz asociada a una transformación lineal
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
Función lineal como propiedad de los sistemas generales
Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:- Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x).
- Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x).
- Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Interpretación geométrica [editar]
Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines [editar]
En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
- m es denominada la pendiente de la recta.
- b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo en el plano xy
En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:La ecuación:
La tercera ecuación, es:
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la formaSistemas de ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones que incógnitas, o cuyo determinante es nulo. En estos casos habrá incógnitas para los que no podamos encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una variedad lineal en el espacio afín asociado al espacio vectorial en el que trabajemos.
Ventajas de las funciones lineales Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La variable independiente puede ir acompañada por valores constantes en forma de factores o sumandos y la variable dependiente cambia conforme a como varía la variable independiente y se ve afectada por los términos constantes que le acompañen. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.